伊藤の公式

伊藤の定理
　zをウィナー過程として、確率過程xが伊藤過程、

dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dz

で定義されているものとする。また

y(t)=F(x,t)

と定義されているとする。このとき、y(t)は次の伊藤方程式をみたす。

dy(t)=\left(\frac{{\partial}F}{{\partial}x}a+\frac{{\partial}F}{{\partial}t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}b^2\right)dt+\frac{{\partial}F}{{\partial}x}bdz

ここで確率過程であることなどを考えず簡易に証明

y+{\Delta}y=F(x,t)+\frac{{\partial}F}{{\partial}x}{\Delta}x+\frac{{\partial}F}{{\partial}t}{\Delta}t+\frac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}({\Delta}x)^2

ここで

{\Delta}t

に関してオーダー１より大きい項を整理すると、

y+{\Delta}y=F(x,t)+\left(\frac{{\partial}F}{{\partial}x}a+\frac{{\partial}F}{{\partial}t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}b^2\right){\Delta}t+\frac{{\partial}F}{{\partial}x}b{\Delta}z

上の式から微分の公式を思い出すと、伊藤の公式がだいたい成り立ちそうな気がする。