乗法的モデルと正規分布

S(k+1)=u(k)S(k)

がk=0,1,...,N-1がある。
この時、u(k)は独立同分布の確率変数。
対数をとると、

InS(n+1)=Inu(n)+InS(n)=InS(0)+\sum^{n}_{k=0}Inu(k)

となる。
u(k)が独立同分布だから当然Inn(k)も独立同分布。
nが十分大きいとき、中心極限定理より、InS(n)は正規分布になるので、Inu(k)の期待値が、

{\mu}

で分散が

{\sigma}^2

を持つなら、InS(n)の期待値と分散はそれぞれ

E[InS(k)]=InS(0)+{\mu}k

var[InS(k)]=k{\sigma}^2

である。期待値と分散はkに関して線形的に増加する。